Ранг матрицы его свойства и методы нахождения. Найти ранг матрицы: способы и примеры


Ранг матрицы представляет собой важную числовую характеристику. Наиболее характерной задачей, требующей нахождения ранга матрицы, является проверка совместности системы линейных алгебраических уравнений. В этой статье мы дадим понятие ранга матрицы и рассмотрим методы его нахождения. Для лучшего усвоения материала подробно разберем решения нескольких примеров.

Навигация по странице.

Определение ранга матрицы и необходимые дополнительные понятия.

Прежде чем озвучить определение ранга матрицы, следует хорошо разобраться с понятием минора, а нахождение миноров матрицы подразумевает умение вычисления определителя. Так что рекомендуем при необходимости вспомнить теорию статьи методы нахождения определителя матрицы, свойства определителя.

Возьмем матрицу А порядка . Пусть k – некоторое натуральное число, не превосходящее наименьшего из чисел m и n , то есть, .

Определение.

Минором k-ого порядка матрицы А называется определитель квадратной матрицы порядка , составленной из элементов матрицы А , которые находятся в заранее выбранных k строках и k столбцах, причем расположение элементов матрицы А сохраняется.

Другими словами, если в матрице А вычеркнуть (p–k) строк и (n–k) столбцов, а из оставшихся элементов составить матрицу, сохраняя расположение элементов матрицы А , то определитель полученной матрицы есть минор порядка k матрицы А .

Разберемся с определением минора матрицы на примере.

Рассмотрим матрицу .

Запишем несколько миноров первого порядка этой матрицы. К примеру, если мы выберем третью строку и второй столбец матрицы А , то нашему выбору соответствует минор первого порядка . Иными словами, для получения этого минора мы вычеркнули первую и вторую строки, а также первый, третий и четвертый столбцы из матрицы А , а из оставшегося элемента составили определитель. Если же выбрать первую строку и третий столбец матрицы А , то мы получим минор .

Проиллюстрируем процедуру получения рассмотренных миноров первого порядка
и .

Таким образом, минорами первого порядка матрицы являются сами элементы матрицы.

Покажем несколько миноров второго порядка. Выбираем две строки и два столбца. К примеру, возьмем первую и вторую строки и третий и четвертый столбец. При таком выборе имеем минор второго порядка . Этот минор также можно было составить вычеркиванием из матрицы А третьей строки, первого и второго столбцов.

Другим минором второго порядка матрицы А является .

Проиллюстрируем построение этих миноров второго порядка
и .

Аналогично могут быть найдены миноры третьего порядка матрицы А . Так как в матрице А всего три строки, то выбираем их все. Если к этим строкам выбрать три первых столбца, то получим минор третьего порядка

Он также может быть построен вычеркиванием последнего столбца матрицы А .

Другим минором третьего порядка является

получающийся вычеркиванием третьего столбца матрицы А .

Вот рисунок, показывающий построение этих миноров третьего порядка
и .

Для данной матрицы А миноров порядка выше третьего не существует, так как .

Сколько же существует миноров k-ого порядка матрицы А порядка ?

Число миноров порядка k может быть вычислено как , где и - число сочетаний из p по k и из n по k соответственно.

Как же построить все миноры порядка k матрицы А порядка p на n ?

Нам потребуется множество номеров строк матрицы и множество номеров столбцов . Записываем все сочетания из p элементов по k (они будут соответствовать выбираемым строкам матрицы А при построении минора порядка k ). К каждому сочетанию номеров строк последовательно добавляем все сочетания из n элементов по k номеров столбцов. Эти наборы сочетаний номеров строк и номеров столбцов матрицы А помогут составить все миноры порядка k .

Разберем на примере.

Пример.

Найдите все миноры второго порядка матрицы .

Решение.

Так как порядок исходной матрицы равен 3 на 3, то всего миноров второго порядка будет .

Запишем все сочетания из 3 по 2 номеров строк матрицы А : 1, 2 ; 1, 3 и 2, 3 . Все сочетания из 3 по 2 номеров столбцов есть 1, 2 ; 1, 3 и 2, 3 .

Возьмем первую и вторую строки матрицы А . Выбрав к этим строкам первый и второй столбцы, первый и третий столбцы, второй и третий столбцы, получим соответственно миноры

Для первой и третьей строк при аналогичном выборе столбцов имеем

Осталось ко второй и третьей строкам добавить первый и второй, первый и третий, второй и третий столбцы:

Итак, все девять миноров второго порядка матрицы А найдены.

Сейчас можно переходить к определению ранга матрицы.

Определение.

Ранг матрицы – это наивысший порядок минора матрицы, отличного от нуля.

Ранг матрицы А обозначают как Rank(A) . Можно также встретить обозначения Rg(A) или Rang(A) .

Из определений ранга матрицы и минора матрицы можно заключить, что ранг нулевой матрицы равен нулю, а ранг ненулевой матрицы не меньше единицы.

Нахождение ранга матрицы по определению.

Итак, первым методом нахождения ранга матрицы является метод перебора миноров . Этот способ основан на определении ранга матрицы.

Пусть нам требуется найти ранг матрицы А порядка .

Вкратце опишем алгоритм решения этой задачи способом перебора миноров.

Если есть хотя бы один элемент матрицы, отличный от нуля, то ранг матрицы как минимум равен единице (так как есть минор первого порядка, не равный нулю).

Далее перебираем миноры второго порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг матрицы равен единице. Если существует хотя бы один ненулевой минор второго порядка, то переходим к перебору миноров третьего порядка, а ранг матрицы как минимум равен двум.

Аналогично, если все миноры третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы равен двум. Если существует хотя бы один минор третьего порядка, отличный от нуля, то ранг матрицы как минимум равен трем, а мы преступаем к перебору миноров четвертого порядка.

Отметим, что ранг матрицы не может превышать наименьшего из чисел p и n .

Пример.

Найдите ранг матрицы .

Решение.

Так как матрица ненулевая, то ее ранг не меньше единицы.

Минор второго порядка отличен от нуля, следовательно, ранг матрицы А не меньше двух. Переходим к перебору миноров третьего порядка. Всего их штук.




Все миноры третьего порядка равны нулю. Поэтому, ранг матрицы равен двум.

Ответ:

Rank(A) = 2 .

Нахождение ранга матрицы методом окаймляющих миноров.

Существуют другие методы нахождения ранга матрицы, которые позволяют получить результат при меньшей вычислительной работе.

Одним из таких методов является метод окаймляющих миноров .

Разберемся с понятием окаймляющего минора .

Говорят, что минор М ок (k+1)-ого порядка матрицы А окаймляет минор M порядка k матрицы А , если матрица, соответствующая минору М ок , «содержит» матрицу, соответствующую минору M .

Другими словами, матрица, соответствующая окаймляемому минору М , получается из матрицы, соответствующей окаймляющему минору M ок , вычеркиванием элементов одной строки и одного столбца.

Для примера рассмотрим матрицу и возьмем минор второго порядка . Запишем все окаймляющие миноры:

Метод окаймляющих миноров обосновывается следующей теоремой (приведем ее формулировку без доказательства).

Теорема.

Если все миноры, окаймляющие минор k-ого порядка матрицы А порядка p на n , равны нулю, то все миноры порядка (k+1) матрицы А равны нулю.

Таким образом, для нахождения ранга матрицы не обязательно перебирать все миноры, достаточно окаймляющих. Количество миноров, окаймляющих минор k -ого порядка матрицы А порядка , находится по формуле . Отметим, что миноров, окаймляющих минор k-ого порядка матрицы А , не больше, чем миноров (k + 1)-ого порядка матрицы А . Поэтому, в большинстве случаев использование метода окаймляющих миноров выгоднее простого перебора всех миноров.

Перейдем к нахождению ранга матрицы методом окаймляющих миноров. Кратко опишем алгоритм этого метода.

Если матрица А ненулевая, то в качестве минора первого порядка берем любой элемент матрицы А , отличный от нуля. Рассматриваем его окаймляющие миноры. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен единице. Если же есть хотя бы один ненулевой окаймляющий минор (его порядок равен двум), то переходим к рассмотрению его окаймляющих миноров. Если все они равны нулю, то Rank(A) = 2 . Если хотя бы один окаймляющий минор отличен от нуля (его порядок равен трем), то рассматриваем его окаймляющие миноры. И так далее. В итоге Rank(A) = k , если все окаймляющие миноры (k + 1)-ого порядка матрицы А равны нулю, либо Rank(A) = min(p, n) , если существует ненулевой минор, окаймляющий минор порядка (min(p, n) – 1) .

Разберем метод окаймляющих миноров для нахождения ранга матрицы на примере.

Пример.

Найдите ранг матрицы методом окаймляющих миноров.

Решение.

Так как элемент a 1 1 матрицы А отличен от нуля, то возьмем его в качестве минора первого порядка. Начнем поиск окаймляющего минора, отличного от нуля:

Найден окаймляющий минор второго порядка, отличный от нуля . Переберем его окаймляющие миноры (их штук):

Все миноры, окаймляющие минор второго порядка , равны нулю, следовательно, ранг матрицы А равен двум.

Ответ:

Rank(A) = 2 .

Пример.

Найдите ранг матрицы с помощью окаймляющих миноров.

Решение.

В качестве отличного от нуля минора первого порядка возьмем элемент a 1 1 = 1 матрицы А . Окаймляющий его минор второго порядка не равен нулю. Этот минор окаймляется минором третьего порядка
. Так как он не равен нулю и для него не существует ни одного окаймляющего минора, то ранг матрицы А равен трем.

Ответ:

Rank(A) = 3 .

Нахождение ранга с помощью элементарных преобразований матрицы (методом Гаусса).

Рассмотрим еще один способ нахождения ранга матрицы.

Следующие преобразования матрицы называют элементарными:

  • перестановка местами строк (или столбцов) матрицы;
  • умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на произвольное число k , отличное от нуля;
  • прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца) матрицы, умноженных на произвольное число k .

Матрица В называется эквивалентной матрице А , если В получена из А с помощью конечного числа элементарных преобразований. Эквивалентность матриц обозначается символом « ~ » , то есть, записывается A ~ B .

Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований матрицы основано на утверждении: если матрица В получена из матрицы А с помощью конечного числа элементарных преобразований, то Rank(A) = Rank(B) .

Справедливость этого утверждения следует из свойств определителя матрицы:

  • При перестановке строк (или столбцов) матрицы ее определитель меняет знак. Если он равен нулю, то при перестановке строк (столбцов) он остается равным нулю.
  • При умножении всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на произвольное число k отличное от нуля, определитель полученной матрицы равен определителю исходной матрицы, умноженному на k . Если определитель исходной матрицы равен нулю, то после умножения всех элементов какой-либо строки или столбца на число k определитель полученной матрицы также будет равен нулю.
  • Прибавление к элементам некоторой строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца) матрицы, умноженных на некоторое число k , не изменяет ее определителя.

Суть метода элементарных преобразований заключается в приведении матрицы, ранг которой нам требуется найти, к трапециевидной (в частном случае к верхней треугольной) с помощью элементарных преобразований.

Для чего это делается? Ранг матриц такого вида очень легко найти. Он равен количеству строк, содержащих хотя бы один ненулевой элемент. А так как ранг матрицы при проведении элементарных преобразований не изменяется, то полученное значение будет рангом исходной матрицы.

Приведем иллюстрации матриц, одна из которых должна получиться после преобразований. Их вид зависит от порядка матрицы.


Эти иллюстрации являются шаблонами, к которым будем преобразовывать матрицу А .

Опишем алгоритм метода .

Пусть нам требуется найти ранг ненулевой матрицы А порядка (p может быть равно n ).

Итак, . Умножим все элементы первой строки матрицы А на . При этом получим эквивалентную матрицу, обозначим ее А (1) :

К элементам второй строки полученной матрицы А (1) прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на . К элементам третьей строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на . И так далее до p-ой строки. Получим эквивалентную матрицу, обозначим ее А (2) :

Если все элементы полученной матрицы, находящиеся в строках со второй по p-ую , равны нулю, то ранг этой матрицы равен единице, а, следовательно, и ранг исходной матрицы равен единице.

Если же в строках со второй по p-ую есть хотя бы один ненулевой элемент, то продолжаем проводить преобразования. Причем действуем абсолютно аналогично, но лишь с отмеченной на рисунке частью матрицы А (2)

Если , то переставляем строки и (или) столбцы матрицы А (2) так, чтобы «новый» элемент стал ненулевым.

Теорема (о корректности определения рангов). Пусть все миноры матрицы A m × n {\displaystyle A_{m\times n}} порядка k {\displaystyle k} равны нулю ( M k = 0 {\displaystyle M_{k}=0} ). Тогда ∀ M k + 1 = 0 {\displaystyle \forall M_{k+1}=0} , если они существуют. Шаблон:/рамка

Связанные определения

Свойства

  • Теорема (о базисном миноре): Пусть r = rang ⁡ A , M r {\displaystyle r=\operatorname {rang} A,M_{r}} - базисный минор матрицы A {\displaystyle A} , тогда:
  • Следствия:
  • Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях): Введём обозначение для матриц, полученных друг из друга элементарными преобразованиями . Тогда справедливо утверждение: Если A ∼ B {\displaystyle A\sim B} , то их ранги равны.
  • Теорема Кронекера - Капелли : Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. В частности:
    • Количество главных переменных системы равно рангу системы.
    • Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.
  • Неравенство Сильвестра : Если A и B матрицы размеров m x n и n x k , то
r a n k A B ≥ r a n k A + r a n k B − n {\displaystyle rankAB\geq rankA+rankB-n}

Это частный случай следующего неравенства.

  • Неравенство Фробениуса : Если AB, BC, ABC корректно определены, то
r a n k A B C ≥ r a n k A B + r a n k B C − r a n k B {\displaystyle rankABC\geq rankAB+rankBC-rankB}

Линейное преобразование и ранг матрицы

Пусть A {\displaystyle A} - матрица размера m × n {\displaystyle m\times n} над полем C {\displaystyle C} (или R {\displaystyle R} ). Пусть T {\displaystyle T} - линейное преобразование, соответствующее A {\displaystyle A} в стандартном базисе; это значит, что T (x) = A x {\displaystyle T(x)=Ax} . Ранг матрицы A {\displaystyle A} - это размерность области значений преобразования T {\displaystyle T} .

Методы

Существует несколько методов нахождения ранга матрицы:

  • Метод элементарных преобразований
Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.
  • Метод окаймляющих миноров
Пусть в матрице A {\displaystyle A} найден ненулевой минор k {\displaystyle k} -го порядка M {\displaystyle M} . Рассмотрим все миноры (k + 1) {\displaystyle (k+1)} -го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор M {\displaystyle M} ; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k {\displaystyle k} . В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, и вся процедура повторяется.

Число r называется рангом матрицы A , если:
1) в матрице A есть минор порядка r , отличный от нуля;
2) все миноры порядка (r+1) и выше, если они существуют, равны нулю.
Иначе, ранг матрицы – это наивысший порядок минора, отличного от нуля.
Обозначения: rangA , r A или r .
Из определения следует, что r – целое положительное число. Для нуль-матрицы считают ранг равным нулю.

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для нахождения ранга матрицы . При этом решение сохраняется в формате Word и Excel . см. пример решения .

Инструкция . Выберите размерность матрицы, нажмите Далее.

Определение . Пусть дана матрица ранга r . Любой минор матрицы, отличный от нуля и имеющий порядок r, называется базисным, а строки и столбцы его составляющие – базисными строками и столбцами.
Согласно этому определению, матрица A может иметь несколько базисных миноров.

Ранг единичной матрицы E равен n (количеству строк).

Пример 1 . Даны две матрицы , и их миноры , . Какой из них можно принять в качестве базисного?
Решение . Минор M 1 =0, поэтому он не может быть базисным ни для одной из матриц. Минор M 2 =-9≠0 и имеет порядок 2, значит его можно принять в качестве базисного матриц A или / и B при условии, что они имеют ранги, равные 2 . Поскольку detB=0 (как определитель с двумя пропорциональными столбцами), то rangB=2 и M 2 можно взять за базисный минор матрицы B. Ранг матрицы A равен 3, в силу того, что detA=-27≠0 и, следовательно, порядок базисного минора этой матрицы должен равняться 3, то есть M 2 не является базисным для матрицы A . Отметим, что у матрицы A единственный базисный минор, равный определителю матрицы A .

Теорема (о базисном миноре). Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией ее базисных строк (столбцов).
Следствия из теоремы.

  1. Всякие (r+1) столбцов (строк) матрицы ранга r линейно зависимы.
  2. Если ранг матрицы меньше числа ее строк (столбцов), то ее строки (столбцы) линейно зависимы. Если rangA равен числу ее строк (столбцов), то строки (столбцы) линейно независимы.
  3. Определитель матрицы A равен нулю тогда и только тогда, когда ее строки (столбцы) линейно зависимы.
  4. Если к строке (столбцу) матрицы прибавить другую строку, (столбец) умноженную на любое число, отличное от нуля, то ранг матрицы не изменится.
  5. Если в матрице зачеркнуть строку (столбец), являющуюся линейной комбинацией других строк (столбцов), то ранг матрицы не изменится.
  6. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк (столбцов).
  7. Максимальное число линейно независимых строк совпадает с максимальным числом линейно независимых столбцов.

Пример 2 . Найти ранг матрицы .
Решение. Исходя из определения ранга матрицы, будем искать минор наивысшего порядка, отличный от нуля. Сначала преобразуем матрицу к более простому виду. Для этого первую строку матрицы умножим на (-2) и прибавим ко второй, затем ее же умножим на (-1) и прибавим к третьей.

Для работы с понятием ранга матрицы нам понадобятся сведения из темы "Алгебраические дополнения и миноры. Виды миноров и алгебраических дополнений" . В первую очередь это касается термина "минор матрицы" , так как ранг матрицы станем определять именно через миноры.

Рангом матрицы называют максимальный порядок её миноров, среди которых есть хотя бы один, не равный нулю.

Эквивалентные матрицы - матрицы, ранги которых равны между собой.

Поясним подробнее. Допустим, среди миноров второго порядка есть хотя бы один, отличный от нуля. А все миноры, порядок которых выше двух, равны нулю. Вывод: ранг матрицы равен 2. Или, к примеру, среди миноров десятого порядка есть хоть один, не равный нулю. А все миноры, порядок которых выше 10, равны нулю. Вывод: ранг матрицы равен 10.

Обозначается ранг матрицы $A$ так: $\rang A$ или $r(A)$. Ранг нулевой матрицы $O$ полагают равным нулю, $\rang O=0$. Напомню, что для образования минора матрицы требуется вычёркивать строки и столбцы, - однако вычеркнуть строк и столбцов более, чем содержит сама матрица, невозможно. Например, если матрица $F$ имеет размер $5\times 4$ (т.е. содержит 5 строк и 4 столбца), то максимальный порядок её миноров равен четырём. Миноры пятого порядка образовать уже не удастся, так как для них потребуется 5 столбцов (а у нас всего 4). Это означает, что ранг матрицы $F$ не может быть больше четырёх, т.е. $\rang F≤4$.

В более общей форме вышеизложенное означает, что если матрица содержит $m$ строк и $n$ столбцов, то её ранг не может превышать наименьшего из чисел $m$ и $n$, т.е. $\rang A≤\min(m,n)$.

В принципе, из самого определения ранга следует метод его нахождения. Процесс нахождения ранга матрицы по определению можно схематически представить так:

Поясню эту схему более подробно. Начнём рассуждать с самого начала, т.е. с миноров первого порядка некоторой матрицы $A$.

  1. Если все миноры первого порядка (т.е. элементы матрицы $A$) равны нулю, то $\rang A=0$. Если среди миноров первого порядка есть хотя бы один, не равный нулю, то $\rang A≥ 1$. Переходим к проверке миноров второго порядка.
  2. Если все миноры второго порядка равны нулю, то $\rang A=1$. Если среди миноров второго порядка есть хотя бы один, не равный нулю, то $\rang A≥ 2$. Переходим к проверке миноров третьего порядка.
  3. Если все миноры третьего порядка равны нулю, то $\rang A=2$. Если среди миноров третьего порядка есть хотя бы один, не равный нулю, то $\rang A≥ 3$. Переходим к проверке миноров четвёртого порядка.
  4. Если все миноры четвёртого порядка равны нулю, то $\rang A=3$. Если среди миноров четвёртого порядка есть хотя бы один, не равный нулю, то $\rang A≥ 4$. Переходим к проверке миноров пятого порядка и так далее.

Что ждёт нас в конце этой процедуры? Возможно, что среди миноров k-го порядка найдётся хоть один, отличный от нуля, а все миноры (k+1)-го порядка будут равны нулю. Это значит, что k - максимальный порядок миноров, среди которых есть хотя бы один, не равный нулю, т.е. ранг будет равен k. Может быть иная ситуация: среди миноров k-го порядка будет хоть один не равный нулю, а миноры (k+1)-го порядка образовать уже не удастся. В этом случае ранг матрицы также равен k. Короче говоря, порядок последнего составленного ненулевого минора и будет равен рангу матрицы .

Перейдём к примерам, в которых процесс нахождения ранга матрицы по определению будет проиллюстрирован наглядно. Ещё раз подчеркну, что в примерах данной темы мы станем находить ранг матриц, используя лишь определение ранга. Иные методы (вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров , вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований) рассмотрены в следующих темах.

Кстати, вовсе не обязательно начинать процедуру нахождения ранга с миноров самого малого порядка, как это сделано в примерах №1 и №2. Можно сразу перейти к минорам более высоких порядков (см. пример №3).

Пример №1

Найти ранг матрицы $A=\left(\begin{array}{ccccc} 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right)$.

Данная матрица имеет размер $3\times 5$, т.е. содержит три строки и пять столбцов. Из чисел 3 и 5 минимальным является 3, посему ранг матрицы $A$ не больше 3, т.е. $\rang A≤ 3$. И это неравенство очевидно, так как миноры четвёртого порядка образовать мы уже не сможем, - для них нужно 4 строки, а у нас всего 3. Перейдём непосредственно к процессу нахождения ранга заданной матрицы.

Среди миноров первого порядка (т.е среди элементов матрицы $A$) есть ненулевые. Например, 5, -3, 2, 7. Вообще, нас не интересует общее количество ненулевых элементов. Есть хотя бы один не равный нулю элемент - и этого достаточно. Так как среди миноров первого порядка есть хотя бы один, отличный от нуля, то делаем вывод, что $\rang A≥ 1$ и переходим к проверке миноров второго порядка.

Начнём исследовать миноры второго порядка. Например, на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1, №4 расположены элементы такого минора: $\left|\begin{array}{cc} 5 & 0 \\ 7 & 0 \end{array} \right|$. У этого определителя все элементы второго столбца равны нулю, поэтому и сам определитель равен нулю, т.е. $\left|\begin{array}{cc} 5 & 0 \\ 7 & 0 \end{array} \right|=0$ (см. свойство №3 в теме свойства определителей). Или же можно банально вычислить сей определитель, используя формулу №1 из раздела по вычислению определителей второго и третьего порядков :

$$ \left|\begin{array}{cc} 5 & 0 \\ 7 & 0 \end{array} \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

Первый проверенный нами минор второго порядка оказался равен нулю. О чём это говорит? О том, что нужно дальше проверять миноры второго порядка. Либо они все окажутся нулевыми (и тогда ранг будет равен 1), либо среди них найдётся хотя бы один минор, отличный от нуля. Попробуем осуществить более удачный выбор, записав минор второго порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1 и №5: $\left|\begin{array}{cc} 5 & 2 \\ 7 & 3 \end{array} \right|$. Найдём значение этого минора второго порядка:

$$ \left|\begin{array}{cc} 5 & 2 \\ 7 & 3 \end{array} \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

Данный минор не равен нулю. Вывод: среди миноров второго порядка есть хотя бы один, отличный от нуля. Следовательно $\rang A≥ 2$. Нужно переходить к исследованию миноров третьего порядка.

Если для формирования миноров третьего порядка мы станем выбирать столбец №2 или столбец №4, то такие миноры будут равными нулю (ибо они будут содержать нулевой столбец). Остаётся проверить лишь один минор третьего порядка, элементы которого расположены на пересечении столбцов №1, №3, №5 и строк №1, №2, №3. Запишем этот минор и найдём его значение:

$$ \left|\begin{array}{ccc} 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end{array} \right|=-20-18-14+16+21+15=0. $$

Итак, все миноры третьего порядка равны нулю. Последний составленный нами ненулевой минор был второго порядка. Вывод: максимальный порядок миноров, среди которых есть хотя бы один, отличный от нуля, равен 2. Следовательно, $\rang A=2$.

Ответ : $\rang A=2$.

Пример №2

Найти ранг матрицы $A=\left(\begin{array} {cccc} -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end{array} \right)$.

Имеем квадратную матрицу четвёртого порядка. Сразу отметим, что ранг данной матрицы не превышает 4, т.е. $\rang A≤ 4$. Приступим к нахождению ранга матрицы.

Среди миноров первого порядка (т.е среди элементов матрицы $A$) есть хотя бы один, не равный нулю, поэтому $\rang A≥ 1$. Переходим к проверке миноров второго порядка. Например, на пересечении строк №2, №3 и столбцов №1 и №2 получим такой минор второго порядка: $\left| \begin{array} {cc} 4 & -2 \\ -5 & 0 \end{array} \right|$. Вычислим его:

$$ \left| \begin{array} {cc} 4 & -2 \\ -5 & 0 \end{array} \right|=0-10=-10. $$

Среди миноров второго порядка есть хотя бы один, не равный нулю, поэтому $\rang A≥ 2$.

Перейдём к минорам третьего порядка. Найдём, к примеру, минор, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №3, №4 и столбцов №1, №2, №4:

$$ \left | \begin{array} {cccc} -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end{array} \right|=105-105=0. $$

Так как данный минор третьего порядка оказался равным нулю, то нужно исследовать иной минор третьего порядка. Либо все они окажутся равными нулю (тогда ранг будет равен 2), либо среди них найдётся хоть один, не равный нулю (тогда станем исследовать миноры четвёртого порядка). Рассмотрим минор третьего порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №2, №3, №4 и столбцов №2, №3, №4:

$$ \left| \begin{array} {ccc} -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end{array} \right|=-28. $$

Среди миноров третьего порядка есть хотя бы один, отличный от нуля, поэтому $\rang A≥ 3$. Переходим к проверке миноров четвёртого порядка.

Любой минор четвёртого порядка располагается на пересечении четырёх строк и четырёх столбцов матрицы $A$. Иными словами, минор четвёртого порядка - это определитель матрицы $A$, так как данная матрица как раз и содержит 4 строки и 4 столбца. Определитель этой матрицы был вычислен в примере №2 темы "Понижение порядка определителя. Разложение определителя по строке (столбцу)" , поэтому просто возьмём готовый результат:

$$ \left| \begin{array} {cccc} -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end{array} \right|=86. $$

Итак, минор четвертого порядка не равен нулю. Миноров пятого порядка образовать мы уже не можем. Вывод: наивысший порядок миноров, среди которых есть хотя бы один отличный от нуля, равен 4. Итог: $\rang A=4$.

Ответ : $\rang A=4$.

Пример №3

Найти ранг матрицы $A=\left(\begin{array} {cccc} -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end{array} \right)$.

Сразу отметим, что данная матрица содержит 3 строки и 4 столбца, поэтому $\rang A≤ 3$. В предыдущих примерах мы начинали процесс нахождения ранга с рассмотрения миноров наименьшего (первого) порядка. Здесь же попробуем сразу проверить миноры максимально возможного порядка. Для матрицы $A$ такими являются миноры третьего порядка. Рассмотрим минор третьего порядка, элементы которого лежат на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №2, №3, №4:

$$ \left| \begin{array} {ccc} 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end{array} \right|=-8-60-20=-88. $$

Итак, наивысший порядок миноров, среди которых есть хоть один, не равный нулю, равен 3. Поэтому ранг матрицы равен 3, т.е. $\rang A=3$.

Ответ : $\rang A=3$.

Вообще, нахождение ранга матрицы по определению - в общем случае задача довольно-таки трудоёмкая. Например у матрицы сравнительно небольшого размера $5\times 4$ имеется 60 миноров второго порядка. И если даже 59 из них будут равны нулю, то 60й минор может оказаться ненулевым. Тогда придётся исследовать миноры третьего порядка, которых у данной матрицы 40 штук. Обычно стараются использовать менее громоздкие способы, такие как метод окаймляющих миноров или метод эквивалентных преобразований .

Определение. Рангом матрицы называется максимальное число линейно независимых строк, рассматриваемых как векторы.

Теорема 1 о ранге матрицы. Рангом матрицы называется максимальный порядок отличного от нуля минора матрицы.

Понятие минора мы уже разбирали на уроке по определителям , а сейчас обобщим его. Возьмём в матрице сколько-то строк и сколько-то столбцов, причём это "сколько-то" должно быть меньше числа строк и стобцов матрицы, а для строк и столбцов это "сколько-то" должно быть одним и тем же числом. Тогда на пересечении скольки-то строк и скольки-то столбцов окажется матрица меньшего порядка, чем наша исходная матрица. Определитель это матрицы и будет минором k-го порядка, если упомянутое "сколько-то" (число строк и столбцов) обозначим через k.

Определение. Минор (r +1)-го порядка, внутри которого лежит выбранный минор r -го порядка, называется называется окаймляющим для данного минора.

Наиболее часто используются два способа отыскания ранга матрицы . Это способ окаймляющих миноров и способ элементарных преобразований (методом Гаусса).

При способе окаймляющих миноров используется следующая теорема.

Теорема 2 о ранге матрицы. Если из элементов матрицы можно составить минор r -го порядка, не равный нулю, то ранг матрицы равен r .

При способе элементарных преобразований используется следующее свойство:

Если путём элементарных преобразований получена трапециевидная матрица, эквивалентная исходной, то рангом этой матрицы является число строк в ней кроме строк, полностью состоящих из нулей.

Отыскание ранга матрицы способом окаймляющих миноров

Окаймляющим минором называется минор большего порядка по отношению к данному, если этот минорм большего порядка содержит в себе данный минор.

Например, дана матрица

Возьмём минор

окаймляющими будут такие миноры:

Алгоритм нахождения ранга матрицы следующий.

1. Находим не равные нулю миноры второго порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг матрицы будет равен единице (r =1 ).

2. Если существует хотя бы один минор второго порядка, не равный нулю, то составляем окаймляющие миноры третьего порядка. Если все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы равен двум (r =2 ).

3. Если хотя бы один из окаймляющих миноров третьего порядка не равен нулю, то составляем окаймляющие его миноры. Если все окаймляющие миноры четвёртого порядка равны нулю, то ранг матрицы равен трём (r =2 ).

4. Продолжаем так, пока позволяет размер матрицы.

Пример 1. Найти ранг матрицы

.

Решение. Минор второго порядка .

Окаймляем его. Окаймляющих миноров будет четыре:

,

,

Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, следовательно, ранг данной матрицы равен двум (r =2 ).

Пример 2. Найти ранг матрицы

Решение. Ранг данной матрицы равен 1, так как все миноры второго порядка этой матрицы равны нулю (в этом, как и в случаях окаймляющих миноров в двух следующих примерах, дорогим студентам предлагается убедиться самостоятельно, возможно, используя правила вычисления определителей), а среди миноров первого порядка, то есть среди элементов матрицы, есть не равные нулю.

Пример 3. Найти ранг матрицы

Решение. Минор второго порядка этой матрицы , в все миноры третьего порядка этой матрицы равны нулю. Следовательно, ранг данной матрицы равен двум.

Пример 4. Найти ранг матрицы

Решение. Ранг данной матрицы равен 3, так как единственный минор третьего порядка этой матрицы равен 3.

Отыскание ранга матрицы способом элементарных преобразований (методом Гаусса)

Уже на примере 1 видно, что задача определения ранга матрицы способом окаймляющих миноров требует вычисления большого числа определителей. Существует, однако, способ, позволяющий свести объём вычислений к минимуму. Этот способ основан на использовании элементарных преобразований матриц и ещё называется также методом Гаусса.

Под элементарными преобразованиями матрицы понимаются следующие операции:

1) умножение какой-либо строки или какого либо столбца матрицы на число, отличное от нуля;

2) прибавление к элементам какой-либо строки или какого-либо столбца матрицы соответствующих элементов другой строки или столбца, умноженных на одно и то же число;

3) перемена местами двух строк или столбцов матрицы;

4) удаление "нулевых" строк, то есть таких, все элементы которых равны нулю;

5) удаление всех пропорциональных строк, кроме одной.

Теорема. При элементарном преобразовании ранг матрицы не меняется. Другими словами, если мы элементарными преобразованиями от матрицы A перешли к матрице B , то .