2. Математическое выражение и его значение.
3. Решение задач на основе составления уравнения.
Алгебра заменяет численные значения количественных характеристик множеств или величин буквенной символикой. В общем виде алгебра также заменяет знаки конкретных действий (сложения, умножения и т. п.) обобщенными символами алгебраических операций и рассматривает не конкретные результаты этих операции (ответы), а их свойства.
Методически считается, что основная роль элементов алгебры в курсе начальных классов состоит математики в том, чтобы способствовать формированию обобщенных представлений детей о понятии «количество» и смысле арифметических действий.
На сегодня наблюдаются две кардинально противоположные тенденции в определении объема содержания алгебраического материала в курсе математики начальной школы. Одна тенденция связана с ранней алгебраизацией курса математики начальных классов, с насыщением его алгебраическим материалом уже с первого класса; другая тенденция связана с введением алгебраического материала в курс математики для начальной школы на его завершающем этапе, в конце 4 класса. Представителями первой тенденции можно считать авторов альтернативных учебников системы Л.В. Занкова (И.И. Аргинская), системы В.В. Давыдова (Э.Н. Александрова, Г.Г. Микулина и др.), системы «Школа 2100» (Л.Г. Петерсон), системы «Школа XXI века» (В.Н. Рудницкая). Представителем второй тенденции можно считать автора альтернативного учебника системы «Гармония» Н.Б. Истомину.
Учебник традиционной школы можно считать представителем «серединных» взглядов - он содержит достаточно много алгебраического материала, поскольку ориентирован на использование учебника математики Н.Я. Виленкина в 5-6 классах средней школы, но знакомит детей с алгебраическими понятиями начиная со 2 класса, распределяя материал на три года, и за последние 20 лет практически не расширяет список алгебраических понятий.
Обязательный минимум содержания образования по математике для начальных классов (последняя редакция 2001 г.) не содержит алгебраического материала. Не упоминают умений выпускников начальной школы работать с алгебраическими понятиями и требования к уровню их подготовки по завершении обучения в начальных классах.
Математическое выражение и его значение
Последовательность букв и чисел, соединенных знаками действий, называют математическим выражением.
Следует отличать математическое выражение от равенства и неравенства, которые используют в записи знаки равенства и неравенства.
Например:
3 + 2 - математическое выражение;
7 - 5; 5 6 - 20; 64: 8 + 2 - математические выражения;
а + b; 7 - с; 23 - а 4 - математические выражения.
Запись вида 3 + 4 = 7 не является математическим выражением, это равенство.
Запись вида 5 < 6 или 3 + а > 7 - не являются математическими выражениями, это неравенства.
Числовые выражения
Математические выражения, содержащие только числа и знаки действий называют числовыми выражениями.
В 1 классе рассматриваемый учебник не использует данные понятия. С числовым выражением в явном виде (с названием) дети знакомятся во 2 классе.
Простейшие числовые выражения содержат только знаки сложения и вычитания, например: 30 - 5 + 7; 45 + 3; 8 - 2 - 1 и т. п. Выполнив указанные действия, получим значение выражения. Например: 30 - 5 + 7 = 32, где 32 - значение выражения.
Некоторые выражения, с которыми дети знакомятся в курсе математики начальных классов, имеют собственные названия: 4 + 5 - сумма;
6 - 5 - разность;
7 6 - произведение; 63: 7 - частное.
Эти выражения имеют названия для каждого компонента: компоненты суммы - слагаемые; компоненты разности - уменьшаемое и вычитаемое; компоненты произведения - множители; компоненты деления - делимое и делитель. Названия значений этих выражений совпадают с названием выражения, например: значение суммы называют «сумма»; значение частного называют «частное» и т. п.
Следующий вид числовых выражений - выражения, содержащие действия первой ступени (сложение и вычитание) и скобки. С ними дети знакомятся в 1 классе. С этим видом выражений связано правило порядка выполнения действий в выражениях со скобками: действия в скобках выполняются первыми.
Далее следуют числовые выражения, содержащие действия двух ступеней без скобок (сложение, вычитание, умножение и деление). С этим видом выражений связано правило порядка выполнения действий в выражениях, содержащих все арифметические действия без скобок: действия умножения и деления выполняются раньше, чем сложение и вычитание.
Последний вид числовых выражений - выражения, содержащие действия двух ступеней со скобками. С этим видом выражений связано правило порядка выполнения действий в выражениях, содержащих все арифметические действия и скобки: действия в скобках выполняются первыми, затем выполняются действия умножения и деления, затем действия сложения и вычитания.
Выражение - это самый широкий математический термин. По существу, в этой науке из них состоит все, и все операции проводятся тоже над ними. Другой вопрос, что в зависимости от конкретного вида применяются совершенно разнообразные методы и приемы. Так, работа с тригонометрией, дробями или логарифмами - это три различных действия. Выражение, не имеющее смысла, может относится к одному из двух видов: числовому или алгебраическому. А вот что означает это понятие, как выглядит его пример и прочие моменты будут рассмотрены далее.
Числовые выражения
Если выражение состоит из чисел, скобок, плюсов-минусов и остальных знаков арифметических действий, его смело можно называть числовым. Что довольно логично: стоит только еще разок взглянуть на первый названный его компонент.
Числовым выражением может быть что угодно: главное, чтобы в нем не было букв. А под "чем угодно" в данном случае понимается все: от простой, стоящей одиноко, самой по себе, цифры, до огромного их перечня и знаков арифметических действий, требующих последующего вычисления конечного результата. Дробь - это тоже числовое выражение, если в ней нет всяких a, b, c, d и т.д., ведь тогда это совершенно другой вид, о котором будет рассказано чуть позже.
Условия для выражения, которое не имеет смысла
Когда задание начинается со слова "вычислить", можно говорить о преобразовании. Штука в том, что это действие не всегда целесообразно: в нем не то чтобы сильно нуждаются, если на передний план выходит выражение, не имеющее смысла. Примеры бесконечно удивительны: иногда, чтобы понять, что оно-то нас и настигло, приходится долго и нудно раскрывать скобки и считать-считать-считать...
Главное, что нужно запомнить: не имеет смысла то выражения, чей конечный результат сводится к запретному в математике действию. Если уж совсем по-честному, то тогда бессмысленным становится само преобразование, но для того, чтобы это выяснить, приходится его для начала выполнить. Такой вот парадокс!
Самое знаменитое, но от того не менее важное запретное математическое действие - это деление на ноль.
Потому вот, например, выражение, не имеющее смысла:
(17+11):(5+4-10+1).
Если при помощи нехитрых вычислений свести вторую скобку к одной цифре, то она и будет нулем.
По такому же принципу "почетное звание" дается и этому выражению:
(5-18):(19-4-20+5).
Алгебраические выражения
Это то же самое числовое выражение, если в него добавить запретные буквы. Тогда оно и становится полноценным алгебраическим. Оно также может быть всех размеров и форм. Алгебраическое выражение - понятие более широкое, включающее в себя предыдущее. Но был смысл начинать разговор не с него, а с числового, чтобы было понятнее и разобраться было легче. Ведь имеет ли смысл выражение алгебраическое - вопрос не то чтобы очень сложный, но имеющий больше уточнений.
Почему так?
Буквенное выражение, или выражение с переменными - это синонимы. Первый термин объяснить просто: ведь оно, в конце концов, содержит в себе буквы! Второй тоже не загадка века: вместо букв можно подставлять разные числа, вследствие чего значение выражения будет меняться. Нетрудно догадаться, что буквы в данном случае и есть переменные. По аналогии, числа - это постоянные.
И тут мы возвращаемся к основной тематике: не имеющее смысла?
Примеры алгебраических выражений, не имеющих смысла
Условие для бессмысленности алгебраического выражения - аналогичное, как и для числового, с одним лишь только исключением, а если быть точнее, дополнением. При преобразовании и вычислении конечного результата приходится учитывать переменные, поэтому вопрос ставится не как "какое выражение не имеет смысла?", а "при каком значении переменной это выражение не будет иметь смысла?" и "есть ли такое значение переменной, при котором выражение потеряет смысл?"
Например, (18-3):(a+11-9).
Вышеприведенное выражение не имеет смысла при a равном -2.
А вот насчет (a+3):(12-4-8) можно смело сказать, что это выражение, не имеющее смысла при любых a.
Точно так же, какое b ни подставишь в выражение (b - 11):(12+1), оно по-прежнему будет иметь смысл.
Типовые задачи по теме "Выражение, не имеющее смысла"
7 класс изучает эту тему по математике в числе прочих, и задания по ней встречаются нередко как непосредственно после соответствующего занятия, так и в качестве вопроса "с подвохом" на модулях и экзаменах.
Вот почему стоит рассмотреть типовые задачи и методы их решения.
Пример 1.
Имеет ли смысл выражение:
(23+11):(43-17+24-11-39)?
Необходимо произвести все вычисление в скобках и привести выражение к виду:
Конечный результат содержит следовательно, выражение не имеет смысла.
Пример 2.
Какие выражения не имеют смысла?
1) (9+3)/(4+5+3-12);
2) 44/(12-19+7);
3) (6+45)/(12+55-73).
Следует вычислить конечное значение для каждого из выражений.
Ответ: 1; 2.
Пример 3.
Найти область допустимых значений для следующих выражений:
1) (11-4)/(b+17);
2) 12/ (14-b+11).
Область допустимых значений (ОДЗ) - это все те числа, при подставлении которых вместо переменных выражение будет иметь смысл.
То есть задание звучит как: найти значения, при которых не будет деления на ноль.
1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞), или b>-17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.
2) b є (-∞;25) & (25; + ∞), или b>25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.
Пример 4.
При каких значениях нижеприведенное выражение не будет иметь смысла?
Вторая скобка равна нулю при игреке равном -3.
Ответ: y=-3
Пример 4.
Какие из выражений не имеют смысла только при x = -14?
1) 14:(х - 14);
2) (3+8х):(14+х);
3) (х/(14+х)):(7/8)).
2 и 3, так как в первом случае, если подставить вместо х = -14, то вторая скобка приравняется -28, а не нулю, как звучит в определении не имеющего смысла выражения.
Пример 5.
Придумайте и запишите выражение, не имеющее смысла.
18/(2-46+17-33+45+15).
Алгебраические выражения с двумя переменными
Несмотря на то что у всех выражений, которые не имеют смысла, одна суть, существуют разные уровни их сложности. Так, можно сказать, что числовые - это примеры простые, ведь они легче, чем алгебраические. Трудности для решения добавляет и количество переменных у последних. Но и они не должны своим видом: главное - помнить общий принцип решения и применять его вне зависимости от того, похож ли пример на типовую задачу или имеет какие-то неизвестные дополнения.
Например, может возникнуть вопрос, как решить такое задание.
Найти и записать пару чисел, являющихся недопустимыми для выражения:
(x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y)/(12x 2 - y).
Варианты ответов:
Но на самом деле оно только выглядит страшным и громоздким, потому что на деле содержит в себе то, что уже давно известно: возведение чисел в квадрат и куб, некоторые арифметические действия, такие как деление, умножение, вычитание и сложения. Для удобства, между прочим, можно привести задачу к дробному виду.
Числитель у получившейся дроби не радует: (x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y). Это факт. Зато есть другой повод для счастья: его-то для решения задания трогать даже не понадобится! Согласно определению, рассмотренному ранее, делить нельзя на ноль, а что именно на него будет делиться, совершенно неважно. Потому оставляем это выражение в неизменном виде и подставляем пары чисел из данных вариантов в знаменатель. Уже третий пункт идеально вписывается, превращая небольшую скобочку в ноль. Но останавливаться на этом - плохая рекомендация, ведь подойти может еще что-нибудь. И вправду: пятый пункт тоже неплохо вписывается и подходит условию.
Записываем ответ: 3 и 5.
В заключение
Как видно, эта тема очень интересная и не особо сложная. Разобраться в ней не составит труда. Но все-таки отработать пару примеров никогда не помешает!
Числовое выражение – это любая запись из чисел, знаков арифметических действий и скобок. Числовое выражение может состоять и просто из одного числа. Напомним, что основными арифметическими действиями являются «сложение», «вычитание», «умножение» и «деление». Этим действиям соответствуют знаки «+», «-», «∙», «:».
Конечно же, чтобы у нас получилось числовое выражение, запись из чисел и арифметических знаков должна быть осмысленной. Так, например, такую запись 5: + ∙ нельзя назвать числовым выражением, так как это случайный набор символов, не имеющий смысла. Напротив, 5 + 8 ∙ 9 - уже настоящее числовое выражение.
Значение числового выражения.
Сразу скажем, что если мы выполним действия указанные в числовом выражении, то в результате мы получим число. Это число называется значением числового выражения .
Попробуем вычислить, что у нас получится в результате выполнения действий нашего примера. Согласно порядку выполнения арифметических действий , сначала выполним операцию умножения. Умножим 8 на 9. Получим 72. Теперь сложим 72 и 5. Получим 77.
Итак, 77 – значение
числового выражения 5 + 8 ∙ 9.
Числовое равенство.
Можно это записать таким образом: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Здесь мы впервые использовали знак «=» («Равно»). Такая запись, при которой два числовых выражения разделены знаком «=», называется числовым равенством
. При этом, если значения левой и правой части равенства совпадают, то равенство называют верным
. 5 + 8 ∙ 9 = 77 – верное равенство.
Если же мы напишем 5 + 8 ∙ 9 = 100, то это уже будет неверное равенство
, так как значения левой и правой части данного равенства уже не совпадают.
Следует отметить, что в числовом выражении мы также можем использовать скобки. Скобки влияют на порядок выполнения действий. Так, например, видоизменим наш пример, добавив скобки: (5 + 8) ∙ 9. Теперь сначала нужно сложить 5 и 8. Получим 13. А затем умножить 13 на 9. Получим 117. Таким образом, (5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – значение
числового выражения (5 + 8) ∙ 9.
Чтобы правильно прочитать выражение, нужно определить какое именно действие выполняется последним для вычисления значения данного числового выражения. Так, если последнее действие вычитание, то выражение называют «разностью». Соответственно, если последнее действие сумма - «суммой», деление – «частным», умножение – «произведением», возведение в степень – «степенью».
Например, числовое выражение (1+5)(10-3) читается так: «произведение суммы чисел 1 и 5 на разность чисел 10 и 3».
Примеры числовых выражений.
Приведем пример более сложного числового выражения:
\[\left(\frac{1}{4}+3,75 \right):\frac{1,25+3,47+4,75-1,47}{4\centerdot 0,5}\]
В данном числовом выражении используются простые числа, обыкновенные и десятичные дроби. Также используются знаки сложения, вычитания, умножения и деления. Черта дроби также заменяет знак деления. При кажущейся сложности, найти значение данного числового выражения довольно просто. Главное уметь выполнять операции с дробями, а также внимательно и аккуратно делать вычисления, соблюдая порядок выполнения действий.
В скобках у нас выражение $\frac{1}{4}+3,75$ . Преобразуем десятичную дробь 3,75 в обыкновенную.
$3,75=3\frac{75}{100}=3\frac{3}{4}$
Итак, $\frac{1}{4}+3,75=\frac{1}{4}+3\frac{3}{4}=4$
Далее, в числителе дроби \[\frac{1,25+3,47+4,75-1,47}{4\centerdot 0,5}\] у нас выражение 1,25+3,47+4,75-1,47. Для упрощения данного выражения применим переместительный закон сложения, который гласит: «От перемены мест слагаемых сумма не изменяется». То есть, 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8.
В знаменателе дроби выражение $4\centerdot 0,5=4\centerdot \frac{1}{2}=4:2=2$
Получаем $\left(\frac{1}{4}+3,75 \right):\frac{1,25+3,47+4,75-1,47}{4\centerdot 0,5}=4:\frac{8}{2}=4:4=1$
Когда числовые выражения не имеют смысла?
Рассмотрим еще один пример. В знаменателе дроби $\frac{5+5}{3\centerdot 3-9}$ значением выражения $3\centerdot 3-9$ является 0. А, как мы знаем, деление на нуль невозможно. Следовательно, у дроби $\frac{5+5}{3\centerdot 3-9}$ нет значения. Про числовые выражения, у которых нет значения, говорят, что они «не имеют смысла».
Если мы в числовом выражении помимо чисел будем использовать буквы, то у нас получится уже алгебраическое выражение .
Дата публикации: 30.08.2014 10:58 UTC
- Геометрия, решебник к книге Балаяна Э.Н. «Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ: 7-9 классы», 7 класс, Балаян Э.Н., 2019
- Тренажёр по геометрии, 7 класс, к учебнику Атанасяна Л.С. и др. «Геометрия. 7-9 классы», ФГОС, Глазков Ю.А., Егупова М.В., 2019
Как найти периметр прямоугольника, стороны которого равны 3 см и 5 см (рис. 67 )?
Отвечая на этот вопрос, вы можете сделать такую запись: 2 * 3 + 2 * 5 .
Такая запись представляет собой числовое выражение .
Приведем еще несколько примеров числовых выражений: 12 : 4 − 1, (5 + 17 ) + 11, (19 − 7 ) * 3 . Эти выражения составлены из чисел, знаков арифметических действия и скобок.
Заметим, что не всякая запись, составленная из чисел, знаков арифметических действия и скобок является числовым выражением. Например, запись +) +3 − (2 представляет собой бессмысленный набор символов.
Завершив решение задачи о периметре прямоугольника, получим ответ 16 см. В таких случаях говорят, что число 16 является значением выражения 2 * 3 + 2 * 5 .
А чему равен периметр прямоугольника, стороны которого равны 3 см и a см? Ответом будет выражение 2 * 3 + 2 * a.
Запись 2 * 3 + 2 * a представляет собой буквенное выражение .
Приведем еще несколько примеров буквенных выражений: (a + b) + 11, 5 + 3 * x, n: 2 − k * 5 . Эти выражения составлены из чисел, букв, знаков арифметических действий и скобок.
Как правило, в буквенных выражениях знак умножения пишут только между числами. В остальных случаях его опускают. Например, вместо 5 * y, m * n, 2 * (a + b) соответственно пишут 5 y, mn, 2 (a + b).
Пусть стороны прямоугольника равны a см и b см. В этом случае буквенное выражение для нахождения его периметра выглядит так: 2 a + 2 b.
Подставим в это выражение вместо букв a и b соответственно числа 3 и 5 . Получим числовое выражение 2 * 3 + 2 * 5, которое мы уже записывали для нахождения периметра прямоугольника. Если же вместо a и b подставить, например, числа 4 и 9, то получим числовое выражение 2 * 4 + 2 * 9 . Вообще, из одного буквенного выражения можно получить бесконечно много числовых выражений.
Обозначим периметр прямоугольника буквой P. Тогда равенство
P = 2 a + 2 b
можно использовать для нахождения периметра любого прямоугольника. Такие равенства называют формулами .
Например, если сторона квадрата равна a, то его периметр вычисляется по формуле:
P = 4 a
Равенство
s = vt
где s − пройденный путь, v − скорость движения, а t − время, за которое пройден путь s, называют формулой пути .
Пример 1 . Собранные в саду яблоки фермер разложил в пять ящиков по a кг и в b ящиков по 20 кг. Скоько килограммов яблок собрал фермер? Вычислите значение полученного выражения при a = 18, b = 9 .
В пяти ящиках содержится 5 a кг яблок, а в b ящиках − 20 b кг. Всего фермер собрал (5 a + 20 b) кг яблок.
Если a = 18, b = 9, то получаем: 5 * 18 + 20 * 9 = 90 + 180 = 270 (кг).
Ответ: (5 a + 20 b) кг, 270 кг.
Пример 2 . Найдите, ползуясь формулой пути, скорость, с которой поезд прошел 324 км за 6 ч.
Поскольку s = vt, то v = s: t. Тогда можно записать v = 324 : 6 = 54 (км/ч).
Ответ: 54 км/ч.
Пример 3 . Буратино купил m булочек по 2 сольдо и торт за 5 сольдо. Составим формулу для вычисления стоимости покупки и найдите эту стоимость, если:
1 ) m = 4 ;
2 ) m = 12 .
За m булочек Буратино заплатил 2 m сольдо.
Обозначив стоимость покупки буквой k, получаем формулу k = 2 m + 5 .
1 ) Если m = 4, то k = 2 * 4 + 5 = 13 ;
2 ) если m = 12, то k = 2 * 12 + 5 = 29 .
Ответ: k = 2 m + 5, 13 сольдо, 29 сольдо.
Числовые выражения, преобразование числовых выражений (рациональных и иррациональных). Друзья! В этой статье для вас представлено решение числовых рациональных и иррациональных выражений. Это несложные задания на ЕГЭ по математике, достаточно знать свойства степеней и корней. Ещё необходимо уметь работать с дробями (находить их сумму, разность, произведение, частное). Процесс решения такого задания занимает минуты две, не более. Не много теории:
Говоря простым (не математическим) языком рациональные выражения — это целые и дробные выражения. Ниже рассматриваются дробные выражения.
Алгебраическое выражение называется иррациональным , если в выражении, наряду с операциями сложения, вычитания, умножения и деления производится операция возведения в рациональную (не целую) степень.
Обыкновенная дробь – это отношение, вида:
*ОТНОШЕНИЕ это есть действие — ДЕЛЕНИЕ (в данном случае «a» делим на «b»).
Также может быть записано в виде: a/b или a:b (косая черта и знак «:» означает — деление). Примеры обыкновенных дробей:
Как видно, число 4 можно записать в виде дроби 4/1. Есть дроби которые можно сократить, например, 48/8 = 6. Некоторые можно представить как конечные десятичные дроби: ½ = 0,5 ¼ = 0,25.
Если имеем целое число с дробной частью (смешанная дробь) и нам необходимо выполнить действие, то её нужно представить в виде простой дроби. Как?
Имеем число вида:
Чтобы получить дробное равное ему число, целую часть умножаем на знаменатель и прибавляем числитель, результат записываем в числитель, знаменатель остаётся прежний:
Например:
Если нужно вычислить сумму (разность) двух дробей с разными знаменателями, необходимо дроби привести к такому виду, чтобы их знаменатели были равны:
*То есть мы получили общий знаменатель путём умножения числителя и знаменателя первой дроби на знаменатель второй и умножением числителя и знаменателя второй дроби на знаменатель первой. Я намеренно не упоминаю здесь наименьшее общее кратное, так как для некоторых, закончивших школу «давно», возможна перегрузка информацией.
Весь смысл действия в том, чтобы привести дроби к общему знаменателю, так как с разными знаменателями дроби складывать нельзя. Если же дроби имеют общий знаменатель, то результатом суммы дробей будет дробь с тем же знаменателем, а числители складывают.
Если нужно вычислить произведение двух дробей, то результатом будет дробь, числитель которой равен произведению числителей этих дробей, а знаменатель равен произведению знаменателей:
Если одну дробь необходимо разделить на другую, то данное действие сводится к произведению делимого и дроби обратной делителю:
*То есть, говоря простым языком, мы «переворачиваем» ту дробь на которую делим и деление заменяем умножением.
Свойства степени и корня можно посмотреть .
Рассмотрим задания:
77387. Найдите значение выражения
Ответ: 8
77389. Найдите значение выражения
Ответ: 5
77391. Найдите значение выражения
Ответ: 10
77392. Найдите значение выражения
*В данной задаче не нужно вычислять произведения и затем отношение. Глядя на числа видно, что они прекрасно сокращаются. Достаточно произвести несложные преобразования и пример вычисляется устно.
Ответ: 10
86983. Найдите значение выражения
Упрощаем, используя формулу разности квадратов
и вычисляем:
Ответ: 702
61513. Найдите значение выражения
Ответ: 24
62385. Найдите значение выражения
Ответ: 2
62647. Найдите значение выражения
Ответ: 2
68141. Найдите
Определим числитель и знаменатель:
Числитель равен знаменателю. Это означает, что отношение равно единице:
Ответ: 1
26745. Найдите значение выражения
*Если корни имеют разные степени, то преобразования с внесением выражений под один корень выполнять нельзя. Требуется привести все корни к равной степени. Используем свойство:
Ответ: 1
77405. Найдите значение выражения
*На заключительном этапе использовали:
Ответ: 7
Полезным будет с показательными выражениями.
26900. Найдите значение выражения